RECTAS Y ÁNGULOS

RECTAS Y ÁNGULOS

EL NÚMERO PI:

Le rodean muchos misterios, a pesar de ser una constante natural. Aparece en los lugares más inesperados: la probabilidad de que dos números enteros positivos cualesquiera sean primos entre sí es 6/pi^2.

Augustus de Morgan escribió “... este misterioso 3,14159 … que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea”. Bertrand Russell escribió un cuento corto titulado “La pesadilla del matemático”, en el que escribe “el rostro de (pi) estaba enmascarado; se sobreentendía que nadie podía contemplarlo y continuar con vida. Pero unos ojos de penetrante mirada acechaban trás la máscara, inexorables, fríos y enigmáticos..”.

CONTENIDOS

Llamaremos punto a la marca que deje un lápiz en un papel, suelo, pared, etc.

La recta será la unión infinita de puntos, aunque sólo podremos dibujar un trozo.

El plano viene dado por una superficie, de una pizarra, de una mesa, de un suelo, etc.

Se llama segmento de recta a la parte de recta limitada por dos puntos. Los segmentos se pueden sumar y restar si se miden anteriormente. Del mismo modo se pueden multiplicar y dividir.

Para dibujar y medir líneas se utilizan las “reglas” y los “compases”.

Tipos de ángulos:

ÁNGULO LLANO: Está formado por la prolongación de los dos lados. Mide 180º

ÁNGULO RECTO: Es la mitad del llano. Mide 90º. Lo marca en el reloj las 15,00 horas.

ÁNGULO AGUDO: Es el que es menor que uno recto, o sea mide menos de 90º.

ÁNGULO OBTUSO: Es el que es mayor que uno recto, o sea mide más de 90º.

Medida de ángulos: Se realiza con un aparato llamado “TRANSPORTADOR (semicírculo), dividido en 180 partes (grados) numeradas que sirven para medir un ángulo, colocando sobre una línea la parte plana del semicírculo y observando el número que indica la otra línea. Una vez medidos los ángulos, se pueden sumar y restar.

ACTIVIDADES:

1. Indicando varias horas del reloj, dibujarlas y medir sus ángulos con ayuda de semicírculos.

Ejercicios sobre la Regla de 3

1. Señala si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales:

a) El número de niños que asisten a una fiesta de cumpleaños y el tamaño del trozo de tarta que le corresponde a cada uno...

b) La distancia recorrida por un tren y las horas que está circulando...

c) El número de obreros que realiza una tala de árboles y los días que dura dicha tala...

d) El número de personas a las que atiende un médico durante una hora y el tiempo que dedica a cada paciente...

e) Los kilómetros que separan dos ciudades y el coste de billete de autobús...

f) Los kilos de uva recogida y el número de obreros que están vendimiando...

g) Los litros de agua que está cayendo en un día de lluvia y el tiempo que está lloviendo...

2. Resuelve los siguientes problemas:

a) Una persona consume 1 Kg. de carne en 12 días. ¿Cuántos gramos necesitará para comer durante un mes?

b) Si 7 manzanas cuestan 0,84 €, ¿a cómo resultará el millar de manzanas?

3. Las ruedas delanteras de un tractor dan 7 vueltas completas cada 35 metros. ¿Cuántos metros recorrerán después de dar 105 vueltas?

4. Para regar un campo se tardan 3 horas si el caudal de riego es de 2000 l/min. ¿ Cuánto tiempo se tardaría en regar ese campo si el caudal fuera de 5000 l/min.?

5. Un ciclista ha tardado 20 minutos en recorrer cierta distancia a una velocidad de 40 km/h. ¿A qué velocidad deberá circular si desea recorrer la misma distancia en 35 minutos?

6. Si 4 grifos tardan 24 horas en llenar cierto depósito, ¿Cuánto tardarán en llenarlo 12 grifos como los anteriores?

7. Por la compra de 200 macetas de plástico un jardinero paga 48 €. ¿Cuánto dinero hubiera tenido que desembolsar por 325 macetas?
   
   
   
   

FRACCIONES

MATEMÁTICAS 7: NÚMEROS FRACCIONARIOS

Problema: A un albañil le encargaron un trabajo. Ayer realizó la mitad del mismo y hoy 1/3 del total. ¿Qué fracción del trabajo lleva realizada?

HERÓN DE ALEJANDRÍA

Herón de Alejandría (S. I ó II d.C.) fue el inventor de la máquina de vapor. A partir del siglo XVIII muchas máquinas empezaron a funcionar gracias a la energía que se obtiene del vapor de agua. Diecisiete siglos antes, Herón de Alejandría ya utilizó las posibilidades energéticas del vapor. Su "máquina de vapor" era una esfera hueca a la que se adaptaban dos tubos curvos. Cuano hervía el agua en el interior de la esfera, ésta giraba a gran velocidad como resultado de la ley de acción y reacción, que no fue formulada hasta tal como muchos siglos más tarde. Pero a nadie se le ocurrió darle al invento más utilidad que la de construir unos cuantos juguetes.

Herón era, sobre todo, un ingeniero. Escribió tratados de mecánica en los que describía máquinas sencillas (ruedas, poleas, palancas, ...).

CONTENIDOS:

Muchas son las aplicaciones de las fracciones en la vida diaria (1/4 de queso, 1/2 litro de agua, 1/5 de cerveza, la mitad del cuarto de jamón, ...).

Las fracciones representan siempre una cierta partede "algo". Ese "algo" es la unidad que elegimos.

Una fracción es una o varias partes iguales en que se divide la unidad (el todo).

Tiene dos términos: denominador y numerador.

El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad (el todo).

El numerador representa las partes de la unidad que se toman.

Ejemplo:      5/7 = numerador / denominador = se toman 5 partes de un total de 7.

Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo valor con términos diferentes. Ejemplo: 3/4 y 6/8son equivalentes porque al multiplicar sus términos en cruz nos da el mismo resultado (3 x 8 = 4 x 6 = 24).

Suma y resta de fracciones:

a) Si tienen el mismo denominador. Se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Ejemplo: 2/4 + 5/4 + 7/4 = 14/4

b) Si tienen diferente denominador. Se halla el mcm de los denominadores, que se divide porcada uno de los denominadores y se multiplica por cada uno de los numeradores para formar nuevas fracciones que se resulten como las anteriores, sumando o restando, según los signos.

Ejemplo: 1/3 + 6/8 - 7/12: mcm (3,8,12) = 24:    40/24.

Multiplicación y división de fracciones:

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y el resultado será el numerador y se multiplican los denominadores y el resultado será el denominador.

Ejemplo: 3/4 x 2/6 = 6/24.

Para dividir realizamos la misma operación que la anterior (multiplicar) pero esta vez en cruz.

Ejemplo: 3/4 : 2/6 = 18/8

ACTIVIDADES:

1. Calcula qué fracción de la unidad representa:

a) La mitad de la mitad.

b) La mitad de la tercera parte.

c) La tercera parte de la mitad.

d) La mitad de la cuarta parte.

2. Para preparar un pastel, se necesita:

1/3 de un paquete de 650 g. de azúcar.

3/4 de un paquete de harina de kilo.

3/5 de una barra de mantequilla de 200 g.

Halla en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.

3. Un depósito contiene 150 l. de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?

4. De una pieza de tela de 48 m. se cortan 3/4 ¿Cuántos metros mide el trozo restante?

5. ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 l.?

6. Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana la mitad (1/2).

¿Cuántos bombones se comieron Eva y Ana?

¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?

7. Ana ha recorrido 600 m., que son los 3/4 de camino de su casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto?

8. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para el C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15.400. Calcular:

a) El número de votos obtenidos por cada partido.

b) El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

9. Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Qué le queda?

10. Un patrón padre reparte entre sus trabajadores 1800 €. Al casado le da 4/9 de esa cantidad, al soltero 1/3 y al menor el resto ¿qué cantidad recibió cada uno?

11. Construcciones "Paco" dispone de 3000 € para comprar herramientas. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le quedó al final?

MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS

MATEMÁTICAS 4: MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS

ERATOSTENES de CIRENE: (275-194 a.C.)

Sabio griego nacido en la actual Libia, quien en el siglo III a.C. calculó por primera vez, que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que resultó ser 7,2º; es decir, 360º/50. Al mismo tiempo sabía que la ciudad de Siena (actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa de Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del sol llegaban perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un pozo profundo. La distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo meridiano era de 5000 estadios (1 estadio = 160 m). Entonces Eratóstenes pensó que dicha distancia sería igual  a 1/50 de toda la circunferencia de la Tierra; por tanto, la circunferencia completa medía:

50 x 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 x 160 m = 40.000 km.

De donde el radio de la Tierra medía: R = 40.000/2Pi = 6.366,19 km.

Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el valor de 6.378 km.

CONTENIDOS

1. PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS. Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos (los números) y el resultado será positivo si los signos son iguales o negativo si los signos son distintos.

Ejemplo: (+5) x (-2) = -10;   (-3) x (+3) = -9;   (+4) x (+2) = +8

2. DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. Para dividir números enteros se dividen sus valores absolutos (los números) y el resultado será positivo si los signos son iguales o negativo si los signos son distintos.

Ejemplo: (+5) : (-2) = -2,5;   (-3) : (+3) = -1;   (+4) : (+2) = +2

ACTIVIDADES:

1. Calcula los siguientes productos:

a) (+5) x (+8) =                                           b) (-5) x (-8) =

c) (-5) x (+8)  =                                           d) (+5) x (-3) =

e) (+9) x (-6) =                                            f) (-9) x (-6) =

g) (+9) x (+6) =                                          h) (-5) x (+3)=

2. Un avión circula a velocidad de 900 km/h; ¿Qué distancia habrá recorrido en 9 horas?

3. Un albañil cobra 1200 € al mes y otro cobra 450 € a la semana. ¿Quién gana más?, ¿Qué diferencia hay entre uno y otro en un año?, ¿Cuánto ganan entre ambos en cinco años?.

4. Calcula las siguientes divisiones:

a) (+15) : (+3) =                                        b) (-12) : (-4) =

c) (-15) : (+3) =                                         d) (+15) : (-5) =

e) (+9) : (-3) =                                           f) (-12) : (-4) =

g) (+9) : (+3) =                                         h) (-15) : (+5) =

5. En una bodega hay 8 toneles con 1000 litros de vino cada uno, 15 toneles con 800 litros cada uno y 20 toneles con 600 litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino hay?, ¿Cuánto se obtiene si se vende todo a 3 € el litro?

PROBLEMAS:

1. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de -81ºC?

2. En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l. por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

3. Un camión de construcción tiene una tara (su peso en vacio) de 6000 kg., y lleva una carga de 3500 kg., una furgoneta tiene una tara de 2.500 kg. y los albañiles que van dentro pesan entre todos 450 kg., una bicicleta pesa 8 kg. y el ciclista 84 kg., cuándo los tres vehiculos se encuentran encima de un puente, ¿qué peso soporta el puente?

4. Compro 18 kg. de piedra de mármol a 10 € el kg., y 22kg. de piedra de pizarra a 15 € el kg. ¿Cuánto he gastado?

SUMAR Y RESTAR NÚMEROS ENTEROS

MATEMÁTICAS 3: SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Problema: El día 5 de un determinado mes, el saldo de la cuenta corriente de una empresa constructora de 5 hermanos es de 12.000 €. El día 6 se extiende un cheque, con cargo a a dicha cuenta, por valor de 4500 €, pero ese mismo día se ingresan 2.000 €. El día 12 se pagan, a través de dicha cuenta, 800 € por concepto de gastos de alumbrado eléctrico. ¿Cuál es el saldo de dicha cuenta después del último movimiento?

SIGLO XXI:

Aunque la cuestión parece definitivamente aclarada, todavía surge la pregunta en algunas tertulias y puede ser motivo de fuertes polémicas. ¿Cuándo comienza el SIGLO XXI: el día 1 de enero del año 2000 o el mismo día del 2001?. En esta ocasión la respuesta aumenta de interés dado que coincide también con el cambio de milenio. ¿Cuándo empieza el tercer milenio: el 1 de enero del año 2000 o del 2001?. Le anticipamos que si usted a comprometido una apuesta en favor del año 2000, cuente con que la ha perdido. Acaso le hayan confundido las instalaciones de VISA por el mundo, en enormes carteles electrónicos con la cuenta regresiva del tiempo que falta hasta el año 2000. O las manifestaciones del Sr. Samaranch cuando se refirió, durante la clausura de los JJOO de 1996, a Sidney 2000 como "los primeros juegos olímpicos del siglo veintiuno".

Para comprender el asunto debemos conocer las vicisitudes del Calendario Gregoriano que es por el que se rige la "cristiandad". El calendario actualse comenzó a conocer oficialmente a partir del año de Roma de 1286, correspondiente al año 532 después de Cristo. En ese año, un monje escita llamado Denis el Breve propuso a la Iglesia que, dado el tiempo transcurrido desde la desaparición del Imperio Romano, los años fueron contados a partir del 1º de enero siguiente al nacimiento de Jesús. De esta forma, el primer año de la Era Cristiana fue denominado oficialmente como "Año uno". Desde nuestra lógica contemporánea, el año de nacimiento de Cristo debió denominarse "Año cero" pero, al no hacerse así. se saltó del año 1 antes de Cristo (el años -1) al año 1 después de Cristo.

CONTENIDOS:

1. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS. Se pueden presentar cuatro casos distintos:

a) Sumar enteros positivos: Se suman sus valores absolutos (sin signo) y el resultado es positivo. Ejemplo: (+3) + (+5) = +8

b) Sumar enteros negativos: Se suman sus valores absolutos y el resultado es negativo. Ejemplo: (-5) - (-4) = -9

c) Sumar enteros con distinto signo: Se restan sus valores absolutos y el resultado es del signo del mayor. Ejemplo: (+2) + (-7) = -5

d) Sumar varios enteros de distinto signo: Se suman los de igual signo, se restan sus valores absolutos y el signo es el del mayor. Ejemplo: (+6) + (-4) + (+3) + (-8) = (+9) + (+12) = -3

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS. Para restar dos números enteros, sean del signo que sean, se suma al minuendo el opuesto (signo contrario) del sustraendo.

Ejemplo:  (+3) - (+2) = (+3) + (-2) = +1

ACTIVIDADES:

1. Resolver:

a) (+13) + (+8)=                                   e) (-12) + (+16) =

b) (-13) + (-8) =                                    f) (+7) + (-9)=

c) (+13) + (-8) =                                   g) (-6) + (+12) =

d) (+7) + (+4) =                                   h) (+5) + (-7) =

2. En una habitación, la temperatura baja 5 grados y después baja otros 4 grados. ¿Cuántos grados ha descendido en total? Exprésalo como una suma de números enteros negativos.

3. Una persona compró un coche de segunda mano por 6500 € y luego lo vendió ganando en la operación 500 €. ¿Por cuánto lo vendió? Exprésalo con una suma de números enteros.

Halla el siguiente término de estas series:

a ) -1, +1, +3, +5,          

b) -12, -9, ´6, -3,            

c) -15, -10, -5, 0,           

5. Resolver:

a) (+13) - (+8) =                                 e) (-12) + (+16) =

b) (-13) - (-8) =                                   f) (+7) - (-9) =

c) (+13) - (-8) =                                  g) (-6) - (+12) =

d) (+7) - (+4) =                                  h) (+5) - (-7) =

6- Una sustancia que está a 40º bajo cero pasa a 3º bajo cero. ¿Cuánto ha variado la temperatura?. Exprésalo como una resta de números negativos.

7. La suma de dos números es 2413. Si uno de ellos es 1913, ¿Cuál es el otro?. Utiliza la resta de enteros.

PROBLEMAS:

1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?

2. Una bomba extrae petróleo de un pozo  a 975 metros de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 metros de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?

3. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4º C, a la de pescaso congelado, que está a -18º C? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de verdura?

PROBLEMAS SIMPLES

1. Juan tiene 85 euros y ha comprado un saco de yeso que le costó 7 euros y unos materiales que le costaron 14 euros. ¿Podrá Juan comprar una herramienta que le cuesta 38 euros?

2. Compré un bote de pintura de 15 euros y una bolsa de masilla de 16 €. ¿Cuánto gasté?. Si pagué con un billete de 50 €, ¿cuánto me devolvieron?.

3. Tenía 95 €. Gasté primero 68 euros y luego 24 €. ¿Cuántos € me sobraron?

4. Germán tiene 12 cajas y Luis tiene 17. ¿Cuántas tienen entre los dos?. ¿Cuántas cajas tiene Luis más que Germán?.

5. En un cine hay 54 hombres, 74 mujeres y 15 niños. ¿Cuántas butacas se han ocupado si el cine tiene 300 butacas?. ¿Cuántas han quedado libres?

6. En un cuartel hay 426 soldados. Han llegado 318 soldados más y se han ido 25. ¿Cuántos hay ahora?.

7. El señor Linares salió de viaje con 3540 €, gastó 525 € en un regalo para su mujer y 1285 € en otros gastos. ¿Cuánto dinero le quedó?.

8. A una joven por su cumpleaños le regalan dinero, su padre le da 100 €, su madre 50 €, su abuela 80 €. Si se compra un regalo que le cuesta 65,5 €, ¿Cuánto le queda?

9. Una señora va a la tienda y se gasta 9 € en chorizo, 15 € en jamón y 16 € en salchichón. ¿Cuánto dinero se ha gastado? Si tenía 45 €, ¿cuánto dinero le ha sobrado?.

10. Pepito fue a la ferretería con 125 € y Antonio tenía 32 € menos que Pepito. ¿Cuánto dinero tenía Antonio?, ¿Cuántos € tenían entre los dos?.

11. Me mandaron a comprar chocolate, galletas y vino. El chocolate cuesta 8,6 €, las galletas cuestan 9,3 € y el vino 7,2 €. Me dieron un billete de 20 euros para pagar, ¿Cuánto dinero me falta?.

12. Una paleta cuesta 30 €, unas gafas de seguridad 6 € y una bolsa de mascarillas 12 €. Si pago con un billete de 50 €, ¿Cuánto me sobra?.

13. Juan tiene 47,5 €. Se gasta 4,8 € en un cuaderno y un deudor le paga 100 €. ¿Cuánto tiene al final?.

14. Regalé a un hermano un libro de cuentos de 15 € y una caja de bombones de 17,5 €. Pagué con 50 €, ¿Cuánto me devolvieron?.

15. Un rebaño consta de 180 ovejas de las cuales se venden 50 y unos lobos asaltan el redil dejando vivas 118 ovejas, ¿Cuántas ovejas mataron los lobos?

16. Sale de casa a las 9 y media y regresa a las 1 y media. Después sale a las 3 y vuelve a las 6. ¿Cuántas horas está fuera de casa?

17. El depósito de un coche contiene 15 litros de gasolina. Antes de salir de viaje se le echan 25 litros. Al final del recorrido le sobran 3 litros, ¿Cuántos litros ha gastado?

18. Esther sacó un libro de 185 páginas de la biblioteca de la escuela. Durante la primera semana leyó 73 páginas y durante la segunda semana leyó 42 páginas. ¿Cuántas páginas tiene todavía que leer?

19. En un avión viajan 350 personas, bajan en un aeropuerto 127 personas y suben 148 personas, ¿Con cuántos viajeros sale el avión del aeropuerto?

20. Mi madre sacó de casa un billete de 500 € para pagar las siguientes facturas: 120 € al carnicero, 84,6 € al panadero, 170,25 € al pescadero y 68,5 € al frutero, ¿Con cuánto volvió?

21. En las carreras del caballos un espectador apostó a las 5 carreras y los resultados fueron los siguientes: en la primera perdió 350 euros, en la segunda perdió 600 €, y en la tercera ganó 400 €, en la cuarta perdió 600 € y en la quinta ganó 110 euros, ¿cuál fue el resultado final de sus apuestas?, ¿Qué conclusión sacas?.